Родился 9 мая 1908 года в Москве, в рабочей семье. Учился в школе и текстильном училище, работал учеником гравера-накатчика на Московском хлопчатобумажном комбинате "Трехгорная мануфактура", затем директором Дома культуры. В 1930 году был призван на военную службу в РККА. Служил на Дальнем Востоке рядовым пограничником, курсантом, командиром на погранзаставы. Затем на румынской и польской границах, с 1938 года - в Управлении погранвойск в Киеве. Перед войной его перевели в Москву, в Главное управление пограничных войск. В начале Великой Отечественной войны капитан Горшков получил назначение в Управление НКВД по Тульской области, где занимался организацией партизанских отрядов, разведывательно-диверсионных групп, истребительных батальонов. 23 октября 1941 года утвержден командиром Тульского Рабочего полка, за 4 дня сформировал полк и командовал тульскими ополченцами почти все дни обороны города. 25 ноября 1941 года сдал полк новому командиру и вернулся в областное управление НКВД, где занимался организацией и переброской в тыл врага партизанских отрядов и разведывательно-диверсионных групп. В июне 1942 года по приказу Ставки Верховного Главного командования Советской Армии был направлен в штаб партизанского движения Брянского фронта и назначен заместителем начальника этого штаба. Затем назначался заместителем представителя Центрального штаба партизанского движения на Брянском фронте, заместителем начальника штаба партизанского движения на Центральном фронте, начальником Южной оперативной группы, представителем Центрального и Белорусского штабов партизанского движения на Центральном фронте. Неоднократно вылетал в тыл врага для руководства крупными операциями брянских партизан. Весной 1943 года превосходящими силами враг блокировал лес. Ввел в бой танки, артиллерию, самолеты. Партизаны, ведя бои, умело маневрируя, сумели выстоять против гитлеровцев и сохранить основные силы для нанесения в последующем новых ударов по вражеским гарнизонам и важнейшим коммуникациям. За умелое руководство боевыми операциями А.П. Горшкову было присвоено звание генерал-майора. В 1944 году - заместитель начальника советской военной миссии в Югославии, которая оказывала существенную помощь Народно-освободительной армии Югославии в борьбе против немецко-фашистских захватчиков. После войны работал в строительных организациях системы Академии Наук СССР, вел большую общественную работу в международной комиссии Советского комитета ветеранов войны. В 1966 году А.П. Горшкову было присвоено звание "Почетный гражданин города Тулы". Неоднократно бывал в Брянске, встречался с молодежью. В сентябре 1968 года А.П. Горшкову было присвоено звание "Почетный гражданин города Брянска". Он был награжден орденами Ленина, Октябрьской Революции, тремя орденами Красного Знамени, орденами Кутузова II степени, Красной Звезды, "Знак Почета" и многими медалями, а также югославским орденом Партизанской Звезды I степени. Скончался А.П. Горшков в Москве 29 декабря 1985 года.