Родился 30 марта 1930 года в селе Негино Суземского района Брянской области. Русский. Из многодетной семьи (12 детей) крестьянина. Окончил среднюю школу. В 1941 году, после оккупации района немецкими войсками в ходе Великой Отечественной войны, его отец, ставший к тому времени председателем колхоза, ушёл в партизаны. 11-летний Михаил стал связным и разведчиком партизанского отряда. В июне 1942 года был арестован как член семьи партизана и находился в тюрьме города Севск Брянской области. В феврале 1943 года освобожден частями Красной Армии. После войны окончил среднюю школу, трудился. В Советской Армии с августа 1950 года. В 1952 году окончил Казанское военное авиационное техническое училище дальней авиации. С декабря 1952 года служил в учебном авиационном полку Рязанской военной офицерской авиационной школы: авиационный техник, с апреля 1953 года - старший авиационный техник. В 1955 году вновь отправлен на учебу. В 1960 году окончил Харьковское высшее авиационное инженерное военное училище. С июле 1960 года направлен для дальнейшего прохождения службы в Ракетные войска стратегического назначения СССР, с которыми оказалась связана вся его последующая военная биография, назначен заместителем командира дивизиона по ракетному вооружению в ракетном Краснознаменном полку в городе Кунгур Пермской области. С мая 1963 года был заместителем командира этого полка по инженерно-ракетной службе, с ноября 1964 года - заместителем командира этого полка по боевому управлению. В ноябре 1966 года на базе части личного состава Кунгурского ракетного полка был сформирован 134-й ракетный полк 57-й ракетной дивизии РВСН в поселке Жангиз-Тобе Семипалатинской области Казахской СССР. Командиром этого полка был назначен майор М.М. Климченков. Параллельно со строительством военного городка, воинской части и боевых позиций личный состав полка принимал и осваивал новейшие ракетные комплексы Р-36. Сложнейшее задание было успешно выполнено личным составом полка, боевые комплексы были досрочно поставлены на боевое дежурство. За это выдающееся достижение полк был удостоен почётного наименования "имени Ленинского Комсомола", а командир полка представлен к высокому званию Героя Социалистического Труда. Пока представление проходило высокие инстанции, командир полка в 1968 году был переведен в Главный штаб РВСН и назначен старшим офицером отдела Главного управления эксплуатации ракетного вооружения Ракетных войск стратегического назначения СССР. За отличную службу, высокие достижения в боевой и политической подготовке и за успешное освоение новейшей боевой техники указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 августа 1969 года подполковнику Климченкову Михаилу Михайловичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали "Серп и Молот". С 1971 года - главный эксперт 1-го отдела экспертизы проектов Государственной экспертизы и инспекции Министерства обороны СССР. С января 1991 года полковник Климченков М.М. - в запасе. Жил в городе Одинцово Московской области. Скончался 28 октября 2000 года. Похоронен на Лайковском кладбище города Одинцово. Полковник (1974). Награжден орденами Ленина (1969), "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" 3-й степени (1978), медалями. Бюст Героя установлен в поселке Суземка Брянской области.