Родился 12 марта (по другим данным – 22 июня) 1922 года в селе Федоровка 1-я, ныне Гордеевского района Брянской области, в семье крестьянина. Русский. Окончил 4 класса. Работал в колхозе в селе Чкаловское Спасского района Приморского края. В Красной Армии с июня 1941 года. В боях Великой Отечественной войны с августа 1942 года. Воевал разведчиком в составе 358-го артиллерийского полка 126-й стрелковой дивизии на Сталинградском, Южном, 4-м Украинском, 1-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах. Член ВКП(б)/КПСС с марта 1943 года. При прорыве обороны врага на Сталинградском фронте 20 ноября 1942 года обнаружил и передал координаты 6 артиллерийских и минометных батарей, 6 дзотов и один наблюдательный пункт, которые были уничтожены артиллерийским огнем. Получил первую боевую награду – медаль "За боевые заслуги". 8 апреля 1944 года при прорыве обороны на Перекопском перешейке в районе города Армянск (Крым) младший сержант Ласюк обнаружил три пулеметные точки противника, которые затем были уничтожены. Был ранен, но поля боя не покинул. Был представлен к награждению орденом Красной Звезды. Приказом командира 126-й стрелковой дивизии (№20/н) от 22 апреля 1944 года младший сержант Ласюк Анатолий Сидорович награжден орденом Славы 3-й степени (№35427). После окончания боев за Крым дивизия была переброшена на 1-й Прибалтийский фронт и принимала участие в боях за освобождение Прибалтики и в Восточной Пруссии. В октябре 1943 года при прорыве обороны на реке Дубисса обнаружил несколько вражеских батарей и огневых точек, взял в плен офицера. Был награжден медалью "За отвагу" (представлен к награждению орденом Красной Звезды). Отличился в боях в Восточной Пруссии и при штурме Кенигсберга. 5 февраля 1945 года у населенного пункта Бартенен (6 км юго-восточнее города Нейкурен - ныне город Пионерский Калининградской области) старший сержант Ласюк обнаружил 4 пушки, минометную батарею, 3 пулеметные точки, которые сдерживали наступление пехоты и были подавлены артиллерийским огнем. Приказом по войскам 43-й армии (№ 41) от 27 февраля 1945 года старший сержант Ласюк Анатолий Сидорович награжден орденом Славы 2-й степени (№ 14121). 6 апреля 1945 года в боях на подступах к городу Кенигсберг (ныне Калининград), находясь в боевых порядках пехоты, разведал 4 пулемета, 2 минометные батареи и 1 артиллерийскую батарею противника, по которым нанесли удар наши огневые средства. В уличных боях в Кенигсберге из личного оружия поразил 4 солдат и 2 взял в плен. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками на заключительном этапе войны старший сержант Ласюк Анатолий Сидорович награжден орденом Славы 1-й степени (№ 340). Стал полным кавалером ордена Славы. После победы продолжал службу в армии. В 1947 году был демобилизован. Вернулся на Дальний Восток. Жил в селе Чкаловское Спасского района Приморского края. Работал механизатором. Скончался 3 апреля 1995 года. Похоронен на кладбище села Чкаловское Спасского района. Награжден орденами Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Славы 3-х степеней, медалями, в том числе "За отвагу" (26.10.1944) и "За боевые заслуги" (16.12.1942).