Родился 18 ноября 1918 года в поселке Анжеро-Судженка, с 1931 года – город Анжеро-Судженск Кемеровской области. Русский. Член ВКП(б) с 1943 года. Окончил 7 классов, работал на золотых приисках. В 1939 году призван в Красную Армию. В 1940 году окончил курсы младших лейтенантов. Участник Великой Отечественной войны с мая 1942 года. Боевой путь начал в составе 1-го отдельного стрелкового батальона 105-й отдельной стрелковой бригады. Освоил снайперское дело (помогли уроки деда – сибирского охотника). Вскоре стал учить меткой стрельбе других бойцов. После перевода в 1287-й стрелковый полк 110-й стрелковой дивизии в младший лейтенант Лебедев выступил инициатором снайперского движения в дивизии. К июню 1943 года он подготовил 45 снайперов, которые успешно сражались с врагом. К тому времени на его личном счету было 307 гитлеровцев, а вместе его ученики уничтожили более 700 немецких солдат и офицеров. 10 июня младший лейтенант Лебедев был представлен к званию Героя Советского Союза. В июне 1943 года, на кануне Курской битвы, комсорг подготовил очередную группу – 27 снайперов. Участвовал в сражении на Курской дуге. Когда наши войска перешли в наступление, он сменил снайперскую винтовку на автомат, всегда был в передовых подразделениях полка. 14 августа 1944 года в бою за деревню Одрино (ныне Карачевского района Брянской области) был тяжело ранен командир роты, бойцы залегли под кинжальным огнем двух пулеметов. Выполнение боевой задачи могло быть сорвано. Младший лейтенант Лебедев взял командование на себя, взяв свою винтовку он один за одним снял пулеметчиков и личным примером поднял солдат в атаку. Стремительным броском гвардейцы ворвались в деревню и стали очищать от гитлеровцев дома один за одним. Уже в конце боя отважный комсорг был ранен осколком снаряда и на месте умер. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 июня 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм младшему лейтенанту Лебедеву Александру Павловичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Награжден орденами Ленина, Красной Звезды. Похоронен в селе Одрино Карачевского района Брянской области.