Родился 4 июля 1916 года в городе Бежица (ныне в черте города Брянска) в семье рабочего. Русский. Член ВКП(б) с 1940 года. Окончил 7 классов и школу ФЗУ, работал на паровозостроительном заводе. В Красной Армии с 1934 года. В 1937 году окончил военную авиационную школу лётчиков. Участник советско-финской войны 1939-1940 годов. На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Старший лейтенант Морозов А.А. к июлю 1941 года лично сбил 7 и в группе 2 самолёта противника, 8 уничтожил на земле. 7 июля 1941 года над районом сёл Варница, Гура-Быкулуй и Калфа Новоаннецкого района Молдавии в воздушном бою сбил вражеский бомбардировщик, а когда кончились боеприпасы, таранил на встречном курсе истребитель противника. Приземлился на парашюте и взял в плен фашистского лётчика. Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 671) старшему лейтенанту Морозову Анатолию Афанасьевичу присвоено 27 марта 1942 года. Командир 9-го гвардейского истребительного авиационного полка гвардии подполковник Морозов А.А. трагически погиб 18 июня 1944 года. Похоронен в городе Щёлково Московской области. Всего успел сбить лично 11 и в группе 6 самолётов противника. Награждён орденом Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского, медалями.
***
Из наградного листа Морозова А.А.: "..7.07.41 г. вечером участвовал в воздушном бою, догнав бомбардировщик противника, атаковал его и сбил. Не успев выйти из атаки, Морозов увидел, что на него в лобовую атаку идет истребитель противника. Морозов не уклонился от боя, наоборот, направил свой самолёт на него и таранил его. Оба самолёта разбиты. Лётчик Морозов спасся на парашюте, а фашистский лётчик взят в плен. Ходатайствую о присвоении старшему лейтенанту тов. Морозову Анатолию Афанасьевичу звания Героя Советского Союза. Командир 4-го иап майор Орлов".